Вписаний чотирикутник в коло. Чотирикутник ABCD вписаний в окружність

З поділом математики на алгебру і геометрію навчальний матеріал стає складніше. З’являються нові фігури і їх окремі випадки. Для того щоб добре розібратися в матеріалі, необхідно вивчити поняття, властивості об’єктів і супутні теореми.

Загальні поняття

Під чотирикутником мається на увазі геометрична фігура. Складається вона з 4-х точок. Причому 3 з них не розташовуються на одній прямій. Є відрізки, послідовно з’єднують зазначені точки.

Всі чотирикутники, що вивчаються в шкільному курсі геометрії, показані в наступній схемі. Висновок: будь-який об’єкт з представленого малюнка має властивості попередньої фігури.

схема підпорядкування чотирикутника

Чотирикутник може бути наступних видів:

  • Паралелограм. Паралельність його протилежних сторін доводиться відповідними теоремами.
  • Трапеція. Чотирикутник, у якого підстави паралельні. Інші дві сторони - немає.
  • Прямокутник. Фігура, у якій всі 4 кута = 90º.
  • Ромб. Фігура, у якій всі сторони рівні.
  • Квадрат. Поєднує в собі властивості останніх двох фігур. У нього всі сторони рівні і всі кути прямі.

Основне визначення даної теми - вписаний чотирикутник в коло. Воно полягає в наступному. Це фігура, навколо якої описана окружність. Вона повинна проходити через всі вершини. Внутрішні кути чотирикутника, вписаного в коло, в сумі дають 360º.

Не кожен чотирикутник може бути вписаний. Пов’язано це з тим, що серединні перпендикуляри 4-х сторін можуть не перетнутися в одній точці. Це унеможливить перебування центру кола, описаного близько 4-кутника.

Окремі випадки

З будь-якого правила є винятки. Так, в даній темі також є окремі випадки:

  • Паралелограм, як такої, не може бути вписаний в коло. Тільки його окремий випадок. Це прямокутник.
  • Якщо все вершини ромба знаходяться на описує лінії, то він є квадратом.
  • Всі вершини трапеції знаходяться на кордоні кола. У такому випадку говорять про рівнобедреної фігурі.

Властивості вписаного чотирикутника в коло

Перед рішенням простих і складних завдань по заданій темі необхідно упевнитися в своїх знаннях. Без вивчення навчального матеріалу неможливо вирішити ні один приклад.

Теорема 1

Сума протилежних кутів, чотирикутника вписаного в коло, дорівнює 180º.

властивості вписаного чотирикутника в коло

Доведення

Дано: чотирикутник АВСД вписаний в коло. Її центр - точка О. Потрібно довести, що

Потрібно розглянути подані фігури.

  1. BAD і BCD утворюють цілу окружність, т. Е. Їх величина складає 360º.
  2. Отже,

кути чотирикутника вписаного в коло

Аналогічним способом відбувається доказ для

    • Відомо, що сума внутрішніх кутів чотирикутника складає 360º.
    • Оскільки

Теорема 2

(Її часто називають зворотної) Якщо в чотирикутнику доказ теореми

Доведення

Дана сума протилежних кутів чотирикутника ABCD, рівна 180º.

З курсу геометрії відомо, що через 3 точки чотирикутника можна провести окружність. Наприклад, можна задіяти точки A, B, C. Де буде знаходитися т. D? Є 3 припущення:

  1. Вона виявляється всередині кола. При цьому D не стосується лінії.
  2. Поза кола. Вона заступає далеко за межі окресленої лінії.
  3. Виявляється на окружності.

Слід припустити, що D розташовується всередині кола. Місце зазначеної вершини займає D’. Виходить чотирикутник ABCD’.

В результаті слід:

Якщо продовжити AD’ до перетину з наявної окружністю з центром в точці Е і з’єднати E і C, вийде вписаний чотирикутник ABCE. З першої теореми слід рівність: доказ теореми

Відповідно до законів геометрії, вираз не має сили, оскільки

Подібним чином можна довести неправильність третього припущення, коли D” виходить за кордон описаної фігури.

З двох гіпотез випливає єдино вірна. Вершина D розташовується на лінії окружності. Іншими словами, D збігається з E. Звідси випливає, що всі точки чотирикутника розташовуються на описуваної лінії.

З цих двох теорем випливають слідства:

  • Будь прямокутник може бути вписаний в коло. Існує й інша слідство. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
  • Трапеція з рівними стегнами може бути вписана в коло. Іншими словами це звучить так: навколо трапеції з рівними ребрами може бути описана окружність.

Кілька прикладів

Завдання 1. У окружність уписаний чотирикутник ABCD. властивості вписаного чотирикутника в коло

Рішення. Спочатку може здатися, що знайти відповідь буде важко.

1. Потрібно згадати властивості з цієї теми. А саме: сума протилежних кутів = 180º.

В геометрії краще дотримуватися принципу: знайти все, що можна. Потім знадобиться.

2. Наступний крок: використовувати теорему про суму кутів трикутника.

Відповідь:

Завдання 2. Дан BCDE - вписаний чотирикутник в коло. чотирикутник авсд вписаний в окружність

Рішення.

  1. Необхідно знайти

Відповідь: <E = 96º.

Завдання 3. Дан вписаний чотирикутник в коло. Дані вказані на малюнку. Необхідно знайти невідомі величини x, y, z.

кути чотирикутника вписаного в коло

Рішення:

Z = 180º - 93º = 87º (по теоремі 1)

X = ½ * (58º + 106º) = 82º

Y = 180º - 82º = 98º (по теоремі 1)

Відповідь: z = 87º, x = 82º, y = 98º.

Завдання 4. Є вписаний чотирикутник в коло. Величини вказані на малюнку. Знайти x, y.

кути чотирикутника вписаного в коло

Рішення:

X = 180º - 80º = 100º

Y = 180º - 71º = 109º

Відповідь: x = 100º, y = 109º.

Завдання на самостійне рішення

Приклад 1. Дана окружність. Її центр - точка О. АС і BD - діаметри. властивості вписаного чотирикутника в коло

Приклад 2. Дано чотирикутник ABCD і коло, описане навколо нього. вписаний чотирикутник в коло

Приклад 3. Дана окружність і вписаний чотирикутник ABCD. Два його кути рівні 82º і 58º. Необхідно знайти більший з решти кутів і записати відповідь в градусах.

в коло вписаний чотирикутник abcd

Приклад 4. Дан чотирикутник ABCD. Кути А, В, С дані в співвідношенні 1: 2: 3. Необхідно знайти кут D, якщо зазначений чотирикутник може бути вписаний в коло. Відповідь має бути дана в градусах.

Приклад 5. Дан чотирикутник ABCD. Його сторони утворюють дуги описаного кола. Градусні величини AB, BC, CD і AD, відповідно, рівні: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Слід знайти <С даного чотирикутника і записати відповідь в градусах.



ЩЕ ПОЧИТАТИ