Як знайти площу криволінійної трапеції

Криволінійна трапеція є фігурою, обмежену графіком неотрицательной і безперервної функції f на проміжку [a; b], віссю OX і прямими x=a і x=b. Для обчислення її площі використовуйте формулу: S=F (b) - F (a), де F - первісна для f.
як знайти площу криволінійної трапеції
Вам необхідно визначити площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x). Знайдіть первісну F для заданої функції f. Побудуйте криволинейную трапецію.

2 крок

Знайдіть декілька контрольних точок для функції f, обчисліть координати перетину графіка даної функції з віссю OX, якщо вони є. Зобразіть графічно інші задані лінії. Заштрихуйте шукану фігуру. Знайдіть x=a і x=b. Обчисліть площу криволінійної трапеції, використовуючи формулу S=F (b) - F (a).

3 крок

Приклад I. Визначте площу криволінійної трапеції, обмеженоюлінією y=3x-x². Знайдіть первісну для функції y=3x-x². Це буде F (x)=3/2x²-1/3x³. Функція y=3x-x² є параболу. Її гілки спрямовані вниз. Знайдіть точки перетину даної кривої з віссю OX.

4 крок

З рівняння: 3x-x²=0, слід, що x=0 і x=3. Шукані точки - (0; 0) і (0; 3). Отже, a=0, b=3. Знайдіть ще кілька контрольних точок і покажіть графік даної функції. Обчисліть площу заданої фігури за формулою: S=F (b) - F (a)=F (3) - F (0)=27/2-27/3-0 + 0=13,5-9=4,5 .

5 крок

Приклад II. Визначте площу фігури, обмеженої лініями: y=x² і y=4x. Знайдіть первісні для даних функцій. Це буде F (x)=1/3x³ для функції y=x² і G (x)=2x² для функції y=4x. За допомогою системи рівнянь знайдіть координати точок перетину параболи y=x² і лінійної функції y=4x. Таких точок дві: (0; 0) і (4; 16).

6 крок

Знайдіть контрольні точки і покажіть графіки заданих функцій. Легко помітити, що шукана площа дорівнює різниці двох фігур: трикутника, утвореного прямими y=4x, y=0, x=0 і x=16 і криволінійної трапеції, обмеженою лініями y=x², y=0, x=0 і x=16.

7 крок

Обчисліть площі даних фігур за формулою: S¹=G (b) - G (a)=G (4) - G (0)=32-0=32 і S²=F (b) - F (a)=F (4) - F (0)=64/3-0=64/3. Отже, площа шуканої фігури S дорівнює S¹-S²=32-64/3=32/3.




ЩЕ ПОЧИТАТИ